Up \( (P, {\bf{v}} ) \)-回転角 \( \alpha \) 作成: 2022-09-20
更新: 2022-09-30

    \( (P, {\bf{ v }}) \)-回転角 \( \alpha \)
        \[ - \pi < \alpha \leqq \pi \]
    をつぎのように定義する：

    \( \alpha \) は， \( P,\ {\bf{ v }} \) の固定座標
      \[ P = ( P_{\hat{x}},\ P_{\hat{y}},\ P_{\hat{z}} ) \\ {\bf{ v }} = ( v_{\hat{x}},\ v_{\hat{y}},\ v_{\hat{z}} ) \]
    で表される。
    以下，これを示す。


    \( Q \) の座標 \( ( Q_{\hat{x}},\ Q_{\hat{y}},\ Q_{\hat{z}} ) \) は：
      \( P_z = 0 \) のとき
        \[ Q_{\hat{x}} = P_{\hat{x}} \\ Q_{\hat{y}} = P_{\hat{y}} \\ Q_{\hat{z}} = P_{\hat{z}} = 0 \\ \]
      \( P_z > 0 \) のとき，
        \[ Q_{\hat{x}} = - R\ \frac{ B }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ Q_{\hat{y}} = R\ \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ \]
      \( P_z < 0 \) のとき，
        \[ Q_{\hat{x}} = R\ \frac{ B }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ Q_{\hat{y}} = - R\ \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ \]
      ここで
        \[ \quad A = P_{\hat{x}}^2\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{x}} - R^2\ v_{\hat{y}} \\ \quad B = P_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{y}}^2\ v_{\hat{x}} + R^2\ v_{\hat{x}} \\ \]


    \( P_z = 0 \) のときは，つぎのようになる：
    よって，
      \[ R\ sin( \alpha ) = Q_{\hat{y}} = P_{\hat{y}} \\ \]
    そして \( - \pi < \alpha \leqq \pi \) なので，
      \[ \alpha = sin^{-1} \bigl( \frac{ P_{\hat{y}} }{ R } \bigr) \\ \]

    \( P_z > 0 \) のときは，
      \[ R\ sin( \alpha ) = Q_{\hat{y}} = R\ \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ \]
    そして \( - \pi < \alpha \leqq \pi \) なので，
      \[ \alpha = sin^{-1} \bigl( \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \bigr) \\ \]

    \( P_z < 0 \) のときは，
      \[ R\ sin( \alpha ) = Q_{\hat{y}}= - R\ \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ \]
    そして \( - \pi < \alpha \leqq \pi \) なので，
      \[ \alpha = sin^{-1} \bigl( - \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \bigr) = - sin^{-1} \bigl( \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \bigr) \\ \]



    まとめ
    \[ P_z = 0 \Longrightarrow \ \alpha = sin^{-1} \bigl( \frac{ P_{\hat{y}} }{ R } \bigr) \\ \ \\ P_z > 0 \Longrightarrow \ \alpha = sin^{-1} \bigl( \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \bigr) \\ P_z < 0 \Longrightarrow \ \alpha = - sin^{-1} \bigl( \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \bigr) \] ここで \[ \quad A = P_{\hat{x}}^2\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{x}} - R^2\ v_{\hat{y}} \\ \quad B = P_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{y}}^2\ v_{\hat{x}} + R^2\ v_{\hat{x}} \\ \]