Up \( (P, {\bf{v}} ) \)-座標起点 \( Q \) の固定座標 作成: 2022-09-19
更新: 2022-09-30

    \( Q \) の固定座標
      \[ ( Q_{\hat{x}},\ Q_{\hat{y}},\ 0 ) \]
    は， \( P,\ {\bf{ v }} \) の固定座標
      \[ P = ( P_{\hat{x}},\ P_{\hat{y}},\ P_{\hat{z}} ) \\ {\bf{ v }} = ( v_{\hat{x}},\ v_{\hat{y}},\ v_{\hat{z}} ) \]
    によって表現される。
    以下，これを示す。


    Ｓの法線で球の中心を通るものを，\( L_Ｓ \) とする。
    \( L_Ｓ \) が球面と交わる２点のうち，
      ＜\( \bf{ v } \) 方向にS を回転したときの，右ネジの進む方向＞
    にある方を，\( T = (T_{\hat{x}}, T_{\hat{y}}, T_{\hat{z}} ) \) とする。



    先ず，条件 \[ | \vec{OP} | = R \\ \ \\ | \vec{OT} | = R \\ \vec{OT} \cdot \vec{OP} = 0 \\ \ \\ | \vec{OQ} | = R \\ \vec{OT} \cdot \vec{OQ} = 0 \\ \] を座標に表現すると \[ {P_{\hat{x}}}^2 + {P_{\hat{y}}}^2 + {P_{\hat{z}}}^2 = R^2 \\ \ \\ {T_{\hat{x}}}^2 + {T_{\hat{y}}}^2 + {T_{\hat{z}}}^2 = R^2 \\ T_{\hat{x}}\ P_{\hat{x}} + T_{\hat{y}}\ P_{\hat{y}} + T_{\hat{z}}\ P_{\hat{z}} = 0 \\ \ \\ {Q_{\hat{x}}}^2 + {Q_{\hat{y}}}^2 = R^2 \\ T_{\hat{x}}\ Q_{\hat{x}} + T_{\hat{y}}\ Q_{\hat{y}} = 0 \\ \]
    残る条件は，\( \vec{OT},\ \vec{OP},\ {\bf{ v }} \) の間の「右ネジ」の条件であり，これは \[ \frac{ \vec{OT} \times \vec{OP} }{ | \vec{OT} \times \vec{OP} | } = \frac{ {\bf{ v }} }{ | {\bf{ v }} | } \\ \] そしてこれを座標に表現すると \[ \vec{OT} \times \vec{OP} = ( T_{\hat{x}},\ T_{\hat{y}},\ T_{\hat{z}} ) \times (P_{\hat{x}},\ P_{\hat{y}},\ P_{\hat{z}} )\\ = (T_{\hat{y}}\ P_{\hat{z}} - T_{\hat{z}}\ P_{\hat{y}},\ T_{\hat{z}}\ P_{\hat{x}} - T_{\hat{x}}\ P_{\hat{z}},\ T_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}} - T_{\hat{y}}\ P_{\hat{x}} ) \\ \ \\ | \vec{OT} \times \vec{OP} | = | \vec{OT} |\ | \vec{OP} |\ sin( \pi / 2 ) = R^2 \\ \ \\ \frac{ {\bf{ v }} }{ v } = \bigl(\ \frac{ v_{\hat{x}} }{ v },\ \frac{ v_{\hat{y}} }{ v },\ \frac{ v_{\hat{z}} }{ v }\ \bigr) \\ \] ここで \[ v = | {\bf{ v }} | \\ \] よって， \[ T_{\hat{y}}\ P_{\hat{z}} - T_{\hat{z}}\ P_{\hat{y}} = \frac{ R^2 }{ v }\ v_{\hat{x}} \\ T_{\hat{z}}\ P_{\hat{x}} - T_{\hat{x}}\ P_{\hat{z}} = \frac{ R^2 }{ v }\ v_{\hat{y}} \\ T_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}} - T_{\hat{y}}\ P_{\hat{x}} = \frac{ R^2 }{ v }\ v_{\hat{z}} \\ \]
    ここで，\( P_z \ne 0 \) と \( P_z = 0 \) の２つの場合にわける。

    (1) \( P_z \ne 0 \) の場合

    先の３式は，一つの式が残り２つの式の含意になり，実質２式である。

    最初の２つの式から， \[ T_{\hat{y}}\ P_{\hat{z}} - T_{\hat{z}}\ P_{\hat{y}} = \frac{ R^2 }{ v }\ v_{\hat{x}} \\ \quad \Longrightarrow T_{\hat{y}} = \frac{1}{P_{\hat{z}}}\ \bigl( T_{\hat{z}}\ P_{\hat{y}} + \frac{ R^2 }{ v }\ v_{\hat{x}} \bigr) = \frac{ P_{\hat{y}} }{ P_{\hat{z}} }\ T_{\hat{z}} + \frac{ R^2\ v_{\hat{x}} }{ v\ P_{\hat{z}} } \\ \ \\ T_{\hat{z}}\ P_{\hat{x}} - T_{\hat{x}}\ P_{\hat{z}} = \frac{ R^2 }{ v }\ v_{\hat{y}} \\ \quad \Longrightarrow T_{\hat{x}} = \frac{1}{P_{\hat{z}}}\ \bigl( T_{\hat{z}}\ P_{\hat{x}} - \frac{ R^2 }{ v }\ v_{\hat{y}} \bigr) = \frac{ P_{\hat{x}} }{ P_{\hat{z}} }\ T_{\hat{z}} - \frac{ R^2\ v_{\hat{y}} }{ v\ P_{\hat{z}} } \\ \] これを \[ T_{\hat{x}}\ P_{\hat{x}} + T_{\hat{y}}\ P_{\hat{y}} + T_{\hat{z}}\ P_{\hat{z}} = 0 \\ \] に代入： \[ \bigl( \frac{ P_{\hat{x}} }{ P_{\hat{z}} }\ T_{\hat{z}} - \frac{ R^2\ v_{\hat{y}} }{ v\ P_{\hat{z}} } \bigr)\ P_{\hat{x}} + \bigl( \frac{ P_{\hat{y}} }{ P_{\hat{z}} }\ T_{\hat{z}} + \frac{ R^2\ v_{\hat{x}} }{ v\ P_{\hat{z}} })\ P_{\hat{y}} + T_{\hat{z}}\ P_{\hat{z}} = 0 \\ \ \\ \ \\ \bigl( \frac{ P_{\hat{x}}^2 }{ P_{\hat{z}} } + \frac{ P_{\hat{y}}^2 }{ P_{\hat{z}} } + P_{\hat{z}} \bigr)\ T_{\hat{z}} - \frac{ R^2\ P_{\hat{x}}\ v_{\hat{y}} }{ v\ P_{\hat{z}} } + \frac{ R^2\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{x}} }{ v\ P_{\hat{z}} } =0 \\ \ \\ \ \\ \frac{ P_{\hat{x}}^2 + P_{\hat{y}}^2 + P_{\hat{z}}^2 }{ P_{\hat{z}} }\ T_{\hat{z}} - R^2\ \frac{ P_{\hat{x}}\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{y}}\ v_{\hat{x}} }{ v\ P_{\hat{z}} } =0 \\ \ \\ \ \\ T_{\hat{z}} = \frac{ P_{\hat{x}}\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{y}}\ v_{\hat{x}} }{ v } \]
    よって， \[ \begin{align} T_{\hat{x}} &= \frac{ P_{\hat{x}} }{ P_{\hat{z}} }\ T_{\hat{z}} - \frac{ R^2\ v_{\hat{y}} }{ v\ P_{\hat{z}} } \\ &= \frac{ P_{\hat{x}} }{ P_{\hat{z}} }\ \frac{ P_{\hat{x}}\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{y}}\ v_{\hat{x}} }{v} - \frac{ R^2\ v_{\hat{y}} }{ v\ P_{\hat{z}} } \\ &= \frac{ P_{\hat{x}}^2\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{x}} - R^2\ v_{\hat{y}} }{ v\ P_{\hat{z}} } \\ \ \\ T_{\hat{y}} &= \frac{ P_{\hat{y}} }{ P_{\hat{z}} }\ T_{\hat{z}} + \frac{ R^2\ v_{\hat{x}} }{ v\ P_{\hat{z}} } \\ &= \frac{ P_{\hat{y}} }{ P_{\hat{z}} }\ \frac{ P_{\hat{x}}\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{y}}\ v_{\hat{x}} }{v} + \frac{ R^2\ v_{\hat{x}} }{ v\ P_{\hat{z}} } \\ &= \frac{ P_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{y}}^2\ v_{\hat{x}} + R^2\ v_{\hat{x}} }{ v\ P_{\hat{z}} } \\ \end{align} \]
    ここで，つぎのように措く： \[ T_{\hat{x}} = \frac{ A }{ v\ P_{\hat{z}} } \\ T_{\hat{y}} = \frac{ B }{ v\ P_{\hat{z}} } \\ \ \\ \quad A = P_{\hat{x}}^2\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{x}} - R^2\ v_{\hat{y}} \\ \quad B = P_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{y}}^2\ v_{\hat{x}} + R^2\ v_{\hat{x}} \\ \] これを \[ T_{\hat{x}}\ Q_{\hat{x}} + T_{\hat{y}}\ Q_{\hat{y}} = 0 \] に代入： \[ Q_{\hat{x}}\ \frac{ A }{ v\ P_{\hat{z}} } \ \ + Q_{\hat{y}}\ \frac{ B }{ v\ P_{\hat{z}} }\ = 0 \\ \ \\ \quad \Longrightarrow \ A\ Q_{\hat{x}} + B\ Q_{\hat{y}} = 0 \\ \] そして \( A\ Q_{\hat{x}} + B\ Q_{\hat{y}} = 0 \) を \[ {Q_{\hat{x}}}^2 + {Q_{\hat{y}}}^2 = R^2 \] に代入： \[ ( R^2 - Q_{\hat{x}}^2 ) = Q_{\hat{y}}^2 \\ \ \\ B^2\ ( R^2 - Q_{\hat{x}}^2 ) = B^2\ Q_{\hat{y}}^2 = A^2\ Q_{\hat{x}}^2 \\ \ \\ B^2\ R^2 = ( A^2 + B^2)\ Q_{\hat{x}}^2 \\ \ \\ \ \\ ( R^2 - Q_{\hat{y}}^2 ) = Q_{\hat{x}}^2 \\ \ \\ A^2\ ( R^2 - Q_{\hat{y}}^2 ) = A^2\ Q_{\hat{x}}^2 = B^2\ Q_{\hat{y}}^2 \\ \ \\ A^2\ R^2 = ( A^2 + B^2 )\ Q_{\hat{y}}^2 \\ \]
    ここで，
      \[ A^2 + B^2 \ne 0 \]

    よって，
      \[ Q_{\hat{x}}^2 = R^2\ \frac{ B^2 }{ A^2 + B^2 } \\ Q_{\hat{y}}^2 = R^2\ \frac{ A^2 }{ A^2 + B^2 } \\ \]

    ここで，つぎの関係がある：
      \[ Q_{\hat{y}} = 0 \Longleftrightarrow T_{\hat{x}} = 0 \\ \ \\ Q_{\hat{y}} > 0 \Longleftrightarrow T_{\hat{x}} > 0 \\ \]

    そして
      \[ T_{\hat{x}} = \frac{ A }{ v\ P_{\hat{z}} } > 0 \Longleftrightarrow A\ P_{\hat{z}} > 0 \]
    なので，
      \[ Q_{\hat{y}} > 0 \Longleftrightarrow A\ P_{\hat{z}} > 0 \\ \]
    \( A\ Q_{\hat{x}} + B\ Q_{\hat{y}} = 0 \) だったので，
      \[ ( A\ P_{\hat{z}} )\ Q_{\hat{x}} + ( B\ P_{\hat{z}} )\ Q_{\hat{y}} = 0 \\ \]
    上の２つの関係から，\( Q_{\hat{x}} \) と \( B\ P_{\hat{z}} \) は異符号。
    即ち，
      \[ Q_{\hat{x}} > 0 \Longleftrightarrow - B\ P_{\hat{z}} > 0 \\ \]
    よって，\( P_z > 0 \) のとき，
      \[ Q_{\hat{x}} = - R\ \frac{ B }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ Q_{\hat{y}} = R\ \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ \]
    \( P_z < 0 \) のとき，
      \[ Q_{\hat{x}} = R\ \frac{ B }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ Q_{\hat{y}} = - R\ \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ \]

    (2) \( P_z = 0 \) の場合
    これは \( Q = P \) の場合であり，よって \[ Q_{\hat{x}} = P_{\hat{x}} \\ Q_{\hat{y}} = P_{\hat{y}} \\ Q_{\hat{z}} = P_{\hat{z}} = 0 \\ \]
    結論：
    \( P_z = 0 \) のとき
      \[ Q_{\hat{x}} = P_{\hat{x}} \\ Q_{\hat{y}} = P_{\hat{y}} \\ Q_{\hat{z}} = P_{\hat{z}} = 0 \\ \]

    \( P_z > 0 \) のとき，
      \[ Q_{\hat{x}} = - R\ \frac{ B }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ Q_{\hat{y}} = R\ \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ \]
    \( P_z < 0 \) のとき，
      \[ Q_{\hat{x}} = R\ \frac{ B }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ Q_{\hat{y}} = - R\ \frac{ A }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } \\ \]
    ここで
      \[ \quad A = P_{\hat{x}}^2\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{x}} - R^2\ v_{\hat{y}} \\ \quad B = P_{\hat{x}}\ P_{\hat{y}}\ v_{\hat{y}} - P_{\hat{y}}^2\ v_{\hat{x}} + R^2\ v_{\hat{x}} \\ \]