Up ＜内へ＋回転方向へ＞移動の場合 作成: 2022-05-27
更新: 2022-10-14

    つぎのように設定をする：
      点 \( Ｐ \) において速度 \( \bf{v} \) [距離単位/時間単位] の移動：


    自転する円板状の速さ \( v = | \bf{v} | \) の移動は，\( P \) での速度 \( \bf{v} \) の向きを変えることになる。
    この変化が，「加速度」に表現される。

    また移動は，位置の変化により，慣性力加速度を被ることになる。
    即ち，円板の自転による回転速度が＜回転の中心からの距離＞によって異なることで，移動は回転速度の変化を慣性力加速度として被ることになる。

    これを踏まえたところで，つぎの設定をする：

    時間 \( \Delta t \) [時間単位] で，移動がつぎの点 \( P' \) に到ったとする：

    円板の自転による \( P \) における回転速度を \( \bf{w} \)，\( P' \) における回転速度を \( \bf{w'} \) とする：


    \( P \) における速度と \( P' \) における速度の比較は，自転円板の上に立つ観察者による比較である。
    よってこれは， \( {\bf{v}} - {\bf{w}} \) と \( {\bf{v'}} - {\bf{w'}} \) の比較になる。
    求めようとしている加速度は，つぎのものである：
      \[ \lim_{t \to 0} \frac{ ( {\bf v'} - {\bf w'} ) - ( {\bf v} - {\bf w} ) }{ \Delta t } \\ = \lim_{t \to 0} \frac{ {\bf v'} - {\bf v} }{ \Delta t } - \lim_{t \to 0} \frac{ {\bf w'} - {\bf w} }{ \Delta t } \ = \ \frac{ d {\bf v} }{ dt } - \frac{ d {\bf w} }{ dt } \]
    以下，この加速度を求める。


    \( P \) と \( P' \) の位置関係は，つぎのようになる：

    角度 \( \theta,\ a \) をつぎのようにおく：


    このとき，つぎが成り立つ：
    \[ \frac{\overline{ OP'} - r }{ \Delta t} \ \ \ \longrightarrow \ - v\ cos( \theta ) \ \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \\ \ \\ \frac{ 1 - cos( a ) }{\Delta t } \ \ \ \longrightarrow \ 0 \ \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \\ \ \\ \frac{ sin( a ) }{\Delta t } \ \ \longrightarrow \ \frac{ v\ sin(\theta) }{r} \ \ \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \\ \]
    後の計算でこれを用いる。


    座標をつぎのようにとる：


    このとき， \[ {\bf{v}} = ( v_x,\ v_y ) \\ {\bf{w}} = ( w_x,\ w_y ) \\ {\bf{v'}} = ( v'_x,\ v'_y ) \\ {\bf{w'}} = ( w'_x,\ w'_y ) \] は： \[ v_x = - v\ cos( \theta ) \\ v_y = v\ sin( \theta ) \\ \ \\ \ \\ w_x = 0 \\ w_y = r\ \Omega \\ \ \\ \ \\ v'_x = - v\ ( cos(\theta) cos(\Omega \Delta t) + sin(\theta) sin(\Omega \Delta t) ) \\ v'_y = v\ ( sin(\theta) cos(\Omega \Delta t) - cos(\theta) sin(\Omega \Delta t) ) \\ \ \\ \ \\ w'_x = - \overline{ OP'}\ \Omega\ ( sin(a)\ cos(\Omega \Delta t) + cos(a)\ sin(\Omega \Delta t) ) \\ w'_y = \overline{ OP'}\ \Omega\ ( cos(a)\ cos(\Omega \Delta t) - sin(a)\ sin(\Omega \Delta t) ) \\ \]


    \( {\bf v'} - {\bf v} \) は， \[ \frac{ {\bf v'} - {\bf v} }{ \Delta t } \longrightarrow ( - v\ \Omega\ sin(\theta),\ - v\ \Omega\ cos(\theta) ) \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \]


    \( {\bf w'} - {\bf w} \) は， \[ \frac{ {\bf w'} - {\bf w} }{ \Delta t } \longrightarrow ( - r \Omega^2 - v \Omega sin(\theta),\ - v \Omega\ cos(\theta) ) \ \ \ ( \Delta t \rightarrow 0 ) \]


    よって，移動 \( ( P, {\bf{v}} ) \) にかかる加速度は， \[ \begin{align} & \ ( - v \Omega\ sin(\theta),\ - v \Omega\ cos(\theta) ) \\ & \ - ( - r \Omega^2 - v \Omega sin(\theta),\ - v \Omega\ cos(\theta) ) \\ \ \\ = & \ ( r \Omega^2,\ 0 ) \end{align} \]

    そして， \[ sin( \theta ) = sin( \pi - \tau ) = sin( \tau ) \\ cos( \theta ) = cos( \pi - \tau ) = - cos( \tau ) \] なので，上の式はつぎのようになる： \[ \begin{align} & \ ( - v \Omega\ sin(\tau),\ + v \Omega\ cos(\tau) ) \\ & \ - ( - r \Omega^2 - v \Omega sin(\tau),\ + v \Omega\ cos(\tau) ) \\ \ \\ = & \ ( r \Omega^2,\ 0 ) \end{align} \]


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