Up 「量測定」──量が数に対して１次元であること 作成: 2010-12-16
更新: 2010-12-20

    Ｑの任意の要素ｑは，ｆ(ｕ) ＝１であるｕ ∈ Ｑ に対し，ｑ ＝ ｕ× ｎ，ｎ∈ N の形に一意的に表されます。 ──これは，Ｑの要素が「ｕを単位にして測る」ことができ，そして「測定値はｎ」ということです。

      証明：
      ｆ(ｑ)＝ｎとすると， ｆ(ｑ)＝ｆ(ｕ)×ｎ ＝ｆ(ｕ× ｎ)
      ｆは１対１だから， ｑ ＝ ｕ× ｎ
      また， ｕ× ｍ ＝ｕ× ｎ とすると，
      ｍ ＝ｆ(ｕ)×ｍ ＝ｆ(ｕ× ｍ) ＝ｆ(ｕ× ｎ) ＝ｆ(ｕ)×ｎ ＝ ｎ


    また，(N, ×) が左可約ならば，Ｑの任意の要素ｑに対し──ただし，(Q, +) に零元が存在するとき (すなわち (N, +) に零元が存在するとき) は，零元でないｑに対し──つぎが成り立つ：
    　　　　　ｑ× ｍ ＝ ｑ× ｎ ならば，ｍ＝ｎ

      証明：
      ｑ ＝ｕ× ｋ とすると， ｋ×ｍ ＝(ｆ(ｕ) ×ｋ) × ｍ ＝ｆ(ｕ× k) × ｍ ＝ｆ(ｑ) × ｍ ＝ｆ(ｑ× ｍ) ＝ｆ(ｑ× ｎ) ＝ｆ(ｑ) × ｎ ＝ｆ(ｕ× k) × ｎ ＝(ｆ(ｕ) × ｋ) × ｎ ＝ｋ×ｎ
      (N, ×) が左可約だから，ｍ＝ｎ