分数の値を求める手順があります。すなわち，分数を値とするきちんとした測定法があります。 ──以下がそれです： (1) 分数で何倍か？  (2) 左が右にいくつ入るか？ ──２つ入って余りがでる。  (3) 余りがもとの左にいくつ入るか？ ──１つ入って余りがでる。  (4) 余りがもとの余りにいくつ入るか？ ── 2 つ入って余りなし。  (5) 最後の余りが最初の2 量にいくつ入るかが，計算で求められる。 ── ３と８。  (6) 最初の２つの量を，３つと８つに共約する量がとれたから， 求める分数倍は8/3。   Shockwave 640x480 (41K)
ユークリッドの互除法を使うと，つぎの両方が同時に得られます： ユークリッドの互除法に対しては，これの操作がいつまでも続いて終わらない場合も，可能性として考えられてきます。 そして実際，そのような場合が存在します。 例えば，正方形の１辺の長さと対角線の長さに対してユークリッドの互除法を施すと，いつまでも続いて終わりません。 (  √２ が無理数であることの証明)
ここから，「分数 (有理数) ではない数」としての「無理数」の主題化へと進んでいきます。 ( 実数)
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